About of the dynamics of forced oscillations in nonlinear systems

Abstract

The article discusses the issues of determining the effectiveness indicators of an electromagnetic vibration exciter in a dynamic mode of operation. It is established that this system is whole system of electrical and mechanical circuits. In this case, the mechanical part operates in the mode of forced vibrations. The oscillation parameters of the system, such as amplitude, frequency, and phase, largely depend on the parameters of the system load. For the analysis of this system, differential equations describing an electromagnetic vibration exciter have been compiled. For this purpose, the dependence L(x) of the inductance on the displacement is used. The dynamic modes of one of the ways of asynchronous excitation of an electromagnetic vibration exciter are investigated. The accuracy analysis and the evaluation of the results were performed by the Fisher criterion for the regression model. To analysis of transients in the electromagnetic vibration exciter, were used the software packages WinFact and MatLab to simulate and optimize dynamic systems. It is established that the system, depending on the initial conditions in the simulation, goes into one of two very different modes. In this case, the initial zero conditions switch the system into a “cyclic” mode, and in other, non-zero conditions, the system goes into an approximate cyclic mode, characterized by a higher speed of movement of the anchor. The parameters of the steady state cyclic movement are determined by the method of harmonic balance. The obtained results allow us to describe autoparametric oscillations of the electric equivalent circuit. It has been established that the compilation of harmonic balance equations corresponding to a linear system helps simplify the solution of the task of determining the dynamics of forced oscillations. The expressions for determining the tractive force and the current flowing through the circuit are obtained, the wavelet spectra of vibration are constructed using the MatLab software package. As a result, for the mechanical part of a nonlinear system, in fact, it is necessary to solve only harmonic balance equation. The results show that this theoretical model allows a more qualitative and accurate assessment of the observed phenomenon. Based on this, the asymptotic conditions for solving the harmonic balance equations of a nonlinear system are determined. The expressions for the electromagnetic force acting on the anchor are obtained, the conditions for the harmonic balance of the mechanical part of the system are determined. The expressions obtained allow us to construct the amplitude-frequency characteristics of the electromagnetic vibration exciter. In conclusion, not only qualitative, but also quantitative estimates of the observed phenomena were obtained. It has been established that mechanical oscillations of a nonlinear system are insensitive to changes in the supply network and practically have a large amplitude with a constant frequency.

У статті розглядаються питання визначення показників ефективності електромагнітного збуджувача коливань в динамічному режимі роботи. Встановлено, що ця система є цілою системою електричних і механічних ланцюгів. У цьому випадку механічна частина працює в режимі вимушених коливань. Параметри коливань системи, такі як амплітуда, частота і фаза, багато в чому залежать від параметрів навантаження системи. Для аналізу цієї системи були складені диференціальні рівняння, що описують збудник електромагнітних коливань. Для цього використовується залежність L (x) індуктивності від зміщення. Досліджено динамічні режими одного з шляхів асинхронного збудження збудника електромагнітних коливань. Аналіз точності та оцінка результатів проводили за критерієм Фішера для регресійної моделі. Для аналізу перехідних процесів в електромагнітному збуднику коливань були використані програмні пакети WinFact і MatLab для імітації і оптимізації динамічних систем. Встановлено, що система, залежно від початкових умов моделювання, переходить в один з двох дуже різних режимів. У цьому випадку початкові нульові умови перемикають систему в «циклічний» режим, а в інших ненульових умовах система переходить в наближений циклічний режим, що характеризується більш високою швидкістю руху якоря. Параметри стаціонарного циклічного руху визначаються методом гармонійного балансу. Отримані результати дозволяють описати автопараметричні коливання електричної еквівалентної схеми. Встановлено, що складання рівнянь гармонійних балансів, що відповідають лінійній системі, сприяє спрощенню розв'язання задачі визначення динаміки вимушених коливань. Отримано вирази для визначення тягової сили і струму, що протікає по контуру, вейвлет-спектри вібрації побудовані з використанням пакета програм MatLab. Як наслідок, для механічної частини нелінійної системи, по суті, необхідно розв'язати лише гармонійне рівняння балансу. Результати показують, що ця теоретична модель дозволяє більш якісно і точно оцінити спостережуване явище. Виходячи з цього, визначаються асимптотичні умови розв'язання рівнянь гармонійного балансу нелінійної системи. Отримано вирази для електромагнітної сили, що діє на якір, визначено умови гармонійного балансу механічної частини системи. Отримані вирази дозволяють побудувати амплітудно-частотні характеристики електромагнітного збуджувача коливань. На закінчення отримані не тільки якісні, але й кількісні оцінки спостережуваних явищ. Встановлено, що механічні коливання нелінійної системи нечутливі до змін в мережі живлення і практично мають велику амплітуду з постійною частотою.