Вирішення основного диференціального рівняння деформацій обсадної колони у викривленій свердловині

Abstract

Колонa обсадних труб у криволінійній свердловині працює як довгий нерозрізний стрижень. Вона встановлена на опори-центратори і повторює складний профіль свердловини, внаслідок чого отримує великі деформації. Для їх описання складено систему диференціальних рівнянь рівноваги внутрішніх та зовнішніх сил і моментів, яку доповнено до замкненого вигляду диференціальним рівнянням кривизни. Вона є неоднорідною, тому що враховує власну розподілену вагу стрижня. Запропоновано два шляхи розв’язання задачі: методом математичної компресії рівнянь системи у комплексне неоднорідне диференціальне рівняння або методом проекціювання рівнянь рівноваги сил на глобальну (вертикаль-горизонталь) та на локальну (дотична-нормаль) системи координат. Показано, що перший інтеграл системи можна знайти також за рівняннями рівноваги ділянки викривленого стрижня скінченої довжини. Цей інтеграл має вигляд неоднорідного диференціального рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами та є основним рівнянням, яке описує деформування довгого пружного стрижня під дією поздовжньої і поперечної складових сил розподіленої ваги. Головною вимогою технології є встановлення колони труб на центрувальних опорах, метою якого є забезпечення співвісності труб і стінок свердловини та створення між ними цементного кільця однакової товщини і міцності. Врахування цієї вимоги дозволило лінеаризувати основне рівняння. За його розв’язком знайдено вирази прогинів, кутових деформацій, внутрішніх згинальних моментів та поперечних сил у стрижні з довільними розташуванням опор і граничними умовами в опорних перетинах. Розв’язок основного диференціального рівняння кутових деформацій довгого стрижня знайдено у вигляді лінійної комбінації функцій Ейрі і Скорера та у вигляді трьох лінійно незалежних поліноміальних рядів у сумі з частинним розв’язком. Одержані вирази деформаційних і силових параметрів дають змогу розрахувати напруження і деформації колони труб під час технологічного процесу кріплення свердловини довільного профілю, що дозволяє підвищити надійність і довговічність її експлуатації.

In a curvilinear well, the casing functions as a long continuous rod. It is installed on the supports-centralizers and replicates the complex profile of the well, as a result of which it receives large deformations. To describe them, a system of differential equilibrium equations of internal and external forces and moments was composed, which was supplemented to a closed form with a differential equation of curvature. It is non-uniform, because it takes into account the own distributed weight of the rod. Two ways are proposed to solve the problem: by the method of mathematical compression of the system equations into a complex inhomogeneous differential equation or by projecting the equilibrium equations of forces on the global (vertical-horizontal) and on the local (tangent-normal) coordinate systems. It is shown that the first integral of the system can also be found from the equilibrium equations of a portion of a curved rod of finite length. This integral has the form of a second-order inhomogeneous differential equation with variable coefficients and is the main equation that describes the deformation of a long elastic rod under the action of the longitudinal and transverse components of the forces of distributed weight. The main requirement of the technology is the installation of a pipes column on the centering supports, the purpose of which is to ensure the coaxiality of the pipes and the borehole walls and the creation between them a cement ring of the same thickness and strength. Accounting for this requirement allowed us to linearize the main equation. Its solution is the clue to the formulas of deflections, angular slopes, internal bending moments and transverse forces in the rod with the arbitrary arrangement of supports and boundary conditions in their intersections. The solution of the main differential equation of angular deformations of a long bar is found in the form of a linear combination of Airy and Scorer’s functions and in the form of three linearly independent polynomial series in the sum with a partial solution. The obtained formulas of flexure and power parameters allow us to calculate stress and strain in the pipes column during the process of casing the borehole of an arbitrary profile which increases the reliability and durability of the well.